Arithmetic Progression

AP (Arithmetic Progression) के सभी फॉर्मूले, जो विभिन्न स्तरों पर उपयोग किए जाते हैं, नीचे दिए गए हैं। ये फॉर्मूले बेसिक से लेकर एडवांस्ड तक विस्तृत हैं।

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1. AP का सामान्य स्वरूप (General Form):

AP को इस रूप में लिखा जाता है:
$a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$
जहां:

• $a$= प्रथम पद (First term)
• $d$= सामान्य अंतर (Common difference)

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2. किसी भी पद को निकालने का सूत्र (nth term of AP):

किसी $n$-वें पद ($T_n$) को निकालने का फॉर्मूला:

$$T_n = a + (n-1)d$$

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3. AP के n पदों का योग (Sum of n terms of AP):

AP के $n$ पदों का योग ($S_n$):

$$S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)d \right]$$

या

$$S_n = \frac{n}{2} \left( a + l \right)$$

जहां $l$ = अंतिम पद (Last term): $l = a + (n-1)d$

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4. AP में दो पदों के बीच का अंतर:

यदि दो पदों को $T_p$ और $T_q$ कहा जाए, तो उनका अंतर:

$$T_p - T_q = (p - q) \cdot d$$

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5. n पदों का औसत (Average of n terms in AP):

AP के पहले $n$ पदों का औसत:

$$\text{Average} = \frac{\text{Sum of n terms}}{n} = \frac{a + l}{2}$$

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6. मध्य पद (Middle Term) निकालने का तरीका:

यदि $n$पद विषम हो, तो मध्य पद:

$$\text{Middle term} = T_{(n+1)/2} = a + \left(\frac{n-1}{2}\right)d$$

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7. AP के बीच में नए पद जोड़ना (Insertion of Terms in AP):

दो पदों $a$ और $b$ के बीच $n$ पद जोड़ने के लिए सामान्य अंतर:

$$d = \frac{b - a}{n + 1}$$

जहां $n$ = जोड़े गए नए पदों की संख्या।

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8. AP की विशेष स्थितियां (Special Cases):

(a) AP में सभी पद बराबर हों:

यदि $d = 0$, तो सभी पद बराबर होंगे, यानी:
$a, a, a, \dots$

(b) दो AP को जोड़ना या घटाना:

• यदि दो AP $A_1$ और $A_2$हों:
  $A_1 = a_1, a_1 + d_1, \dots$
  $A_2 = a_2, a_2 + d_2, \dots$
  तो नई AP:
  $\text{Sum: } (a_1 + a_2), (a_1 + d_1 + a_2 + d_2), \dots$
  

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9. AP का सामान्य गुण (General Property):

AP में किसी तीन लगातार पदों का गुणा इस प्रकार होता है:

$$T_{n-1}+T_{n+1}=2T_{\mathrm{n}}$$

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10. AP का अंतिम पद ज्ञात करना जब योग दिया हो:

यदि $S_n$ और $n$ दिया हो, तो अंतिम पद ($l$):

$$l = \frac{2S_n}{n} - a$$

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11. AP में पदों के बीच की संख्या:

यदि दो पदों $T_1$ और $T_2$ के बीच $m$ पद हों, तो कुल पदों की संख्या:

$$\text{Number of terms}=\frac{T_2-T_1}{d}+1$$

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12. AP का उत्पाद (Product of terms in AP):

यदि $a$, $a+d$, $a+2d$, ..., $a+(n-1)d$ पद हों, तो उनका उत्पाद:

$$P_n = a^n \cdot d^{n(n-1)/2} \cdot \text{(factorial terms for symmetric arrangement)}$$

(यह फॉर्मूला सामान्यत: व्यावहारिक मामलों में उपयोग नहीं होता, परंतु एडवांस गणना में सहायक है।)

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13. AP में k-th पद का योग (Sum of k-th powers of AP terms):

यदि $T_n = a + (n-1)d$, तो k-th शक्ति का योग:

$$S_k = \sum_{n=1}^n (a + (n-1)d)^k$$

(यह फॉर्मूला एडवांस कैल्कुलस में उपयोग होता है।)

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